Integrales definidas

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Integrales definidas

29
Abr

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Integrales definidas

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El objetivo de los métodos de integración es calcular el área que comprenden:

  • los límites de integración a y b que son los lados izquierdo y derecho,
  • el eje X el lado inferior y
  • la función f (x) el lado superior.

Todas son lineas reactas excepto el lado superior que tiene la forma que le da f(x), por lo tanto no es posible obtener la integral simplemente con el área de un polígono regular.

Los métodos numéricos intentan resolver esta complejidad simplificando el lado superior para obtener una aproximación, lo más cercana posible, al valor de la integral.

¿Por qué utilizar métodos numéricos para obtener la integral de una ecuación? Si intentamos obtener la integral de la siguiente ecuación por medios analíticos, simplemente no es posible.

Entonces se requieren los métodos numéricos para obtener un resultado en los casos donde las ecuaciones son complicadas de resolver por medios analíticos o incluso en casos donde no es posible aplicarlos.

La gráfica de la integral se muestra a continuación, si usamos la definición de la integral utilizando las sumas de Riemann observamos que la integral es la suma de las áreas de los rectángulos inscritos bajo la curva, se observan ciertas áreas que no son consideradas entonces spara resolver el problema se hace que el número de rectángulos tienda a infinito, tenemos entonces la integración de Riemann, el cálculo de dichos límites generan las integrales que conocemos por los medios analíticos, pero existen límites que no se pueden obtener y los médios analíticos no se pueden aplicar.

Hay dos clases de métodos para calcular la aproximación de la integral de una ecuación no lineal,

  • Las fórmulas de Newton-Cotes: Intentan obtener la integral haciendo una interpolación de grado n entre los límites de integración [a b].
  • Las Cuadraturas: Intentan obtener la integral obteniendo puntos interiores a los límites de integración para mejorar el resultado.

Fórmulas de Newton-Cotes


Regla de los rectángulos

Interpolación de grado 0. Se inicia con una interpolación de grado 0 que es llamada la regla de los rectángulo, de tal manera que la aproximación a la integral es el área del rectángulo formado por el eje x, los límites de integración y la interpolación. La ecuación es sencilla

I=(b-a)f(a)

Queda claro que existe un error entre el cálculo de la integral por la regla de los rectángulos y la integral analítica, una vez más los métodos numéricos deben idear algo para reducir el error, y ese algo es dividir los límites de integración en n subintervalos para que se formen n-1 rectángulos y el resultado se mejore quedando de la siguiente manera

h=(b-a)/n

I=hf(x0)+hf(x1)+hf(x2)+…+hf(xn-1)=hSuma(xi) i=0..n-1

function [r] = regla_rectangulos(f,a,b,n)
   h=(b-a)/n;
   xs=linspace(a,b,n+1);
   ys=f(xs);
   r=h*sum(ys(1:end-1));
end
function grafica_rectangulos(f,a,b,n)
   x = linspace (a, b);
   y = f(x);
   plot(x,y,'-','LineWidth',1.5)
   hold on
   ix = linspace (a,b,n+1);
   iy = f(ix);
   for i=1:n
      area([ix(i),ix(i+1)],[iy(i),iy(i)]);
   end
   hold off
   title ('Regla de los rectangulos e^x^2')
end
a=0; % limite inferior
b=1; % limite superior
n =1; % numero de rectangulos
f=@(x) exp(x.^2); %ecuacion que se desea integrar

area = regla_rectangulos(f,a,b,n) %uso del metodo de los rectangulos
grafica_rectangulos(f,a,b,n) %grafica de la integral

Regla de los trapecios

Interpolación de grado 1. La interpolación de grado 1 entre los puntos f(a) y f(b) genera un polígono regular llamado trapecio el cual es la llamada la regla de los trapecios, de tal manera que la aproximación a la integral es el área del trapecio formado por el eje x, los límites de integración y la interpolación de grado 1. La ecuación es también sencilla

I=(b-a)(f(a)+f(b))/2

Existe un pequeño error entre el área del trapecio y la integral analítica, una vez más se dividen los límites de integración en n subintervalos para que se formen n-1 trapecios y el resultado se mejore quedando de la siguiente manera

h=(b-a)/n

function [r] = regla_trapecios(f,a,b,n)
   h=(b-a)/n;
   xs=linspace(a,b,n+1);
   ys=f(xs);
   r=h*(ys(1)+2*sum(ys(2:end-1))+ys(end))/2;
end
function grafica_trapecios(f,a,b,n)
   x = linspace(a,b);
   y = f(x);
   plot(x,y,'-','LineWidth',1.5)
   hold on
   ix = linspace(a,b,n+1);
   iy = f(ix);
   for i =1:n
      area([ix(i),ix(i+1)],[iy(i),iy(i+1)]);
   end
   hold off
   title ('Regla de los Trapecios e^x^2')
end
a=0; % limite inferior
b=1; % limite superior
n=10; % numero de trapecios
f=@(x) exp(x.^2); %ecuacion que se desea integrar

area = regla_trapecios(f,a,b,n)
grafica_trapecios(f,a,b,n)

Regla se Simpson 1/3

Interpolación de grado 2. La interpolación de grado 2 entre los puntos f(a) y f(b) requiere de un punto más para poder generarla, ese punto adicional se obtiene de dividir el intervalo de integración en dos subintervalos. Entonces se tienen 3 puntos que llamaremos x0, x1 y x2, donde:

  • x0=a,
  • x1=(a+b)/2,
  • x2=b-a,

con estos 3 puntos es posible generar la interpolación de grado 2. Integrando y evaluando entre los límites x0 y x2 obtenemos

h=(a+b)/2

I=h/3(f(x0)+4f(x1)+f(x2))

Es claro que para poder aplicar el método de Simpson 1/3 se requieren de 2 subintervalos para poder generar la interpolación de grado 2.

Como en los métodos anteriores, la integral se mejora cuando se divide el intervalo en n subintervalos para cubrir de mejor manera el área bajo la curva. Quedó claro que para aplicar éste método se requiere de 2 subintervalos, si se va a dividir en n subintervalos para mejorar la integral entonces el número de subintervalos debe ser par porque para cada par de subintervalos se aplica una regla de Simpson 1/3.

h=(b-a)/n, n debe ser par

  • x0=a,
  • x1=x0 + h,
  • x2=x1 + h,
  • x3=x2 + h,
  • x4=x3 + h,
    …
  • xn=xn-1 + h

Se aplica la ecuación de la integral por cada par de subintervalos y se suman para obtener la integral completa

I=h/3(f(x0)+4f(x1)+f(x2)) + h/3(f(x2)+4f(x3)+f(x4)) + … + h/3(f(x-2)+4f(xn-1)+f(xn))

function [r] = regla_simpson13(f,a,b,n)
   h=(b-a)/n;
   xs=linspace(a,b,n+1);
   ys=f(xs);
   r=h/3*(ys(1)+4*sum(ys(2:2:end-1))+2*sum(ys(3:2:end-2))+ys(end));
end
a=2; % limite inferior
b=8; % limite superior
n=6; % numero de sunintervalos
f=@(x) (9+4*cos(0.4*x).^2).*(5*exp(-0.5*x)+2*exp(0.15*x)); %ecuacion que se desea integrar
area = regla_simpson13(f,a,b,n)

Simpson 3/8

Interpolación de grado 3. La interpolación de grado 3 entre los puntos f(a) y f(b) requiere de dos punto más para poder generar la interpolación de grado 3, esos puntos adicionales se obtiene al dividir el intervalo de integración en tres subintervalos. Entonces se tienen 4 puntos que llamaremos x0, x1 y x2, donde:

h=(a+b)/3

  • x0=a,
  • x1=x0 + h,
  • x2=x1 + h,
  • x3=x2 + h,

con estos 4 puntos es posible generar la interpolación de grado 3. Integrando y evaluando entre los límites x0 y x3 obtenemos

h=(a+b)/3

I=3h/8(f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3))

Es claro que para poder aplicar el método de Simpson 3/8 se requieren de 3 subintervalos para poder generar la interpolación de grado 3.

Como en los métodos anteriores, la integral se mejora cuando se divide el intervalo en n subintervalos para cubrir de mejor manera el área bajo la curva. Quedó claro que para aplicar éste método se requiere de 3 subintervalos, si se va a dividir en n subintervalos entonces el número de subintervalos debe ser múltiplo de 3 porque para cada tres subintervalos se aplica una regla de Simpson 3/8.

h=(b-a)/n, n debe ser múltiplo de 3

  • x0=a,
  • x1=x0 + h,
  • x2=x1 + h,
  • x3=x2 + h,
  • x4=x3 + h,
    …
  • xn=xn-1 + h

Se aplica la ecuación de la integral por cada tres subintervalos y se suman para obtener la integral completa

I=3h/8(f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3)) + 3h/8(f(x3)+3f(x4)+3f(x5)+f(x6)) + … + 3h/8(f(xn-3)+3f(xn-2)+3f(xn-1)+f(xn))

function [r] = regla_simpson38(f,a,b,n)
   h=(b-a)/n;
   xs=linspace(a,b,n+1);
   ys=f(xs);
   r=3*h*(ys(1)+3*sum(ys(2:3:n-1))+3*sum(ys(3:3:n))+2*sum(ys(4:3:n-2))+ys(end))/8;
end
a=2; % limite inferior
b=8; % limite superior
n=6; % numero de subintervalos
f=@(x) (9+4*cos(0.4*x).^2).*(5*exp(-0.5*x)+2*exp(0.15*x)); %ecuacion que se desea integrar
area = regla_simpson38(f,a,b,n)

Cuadraturas


Las fórmulas cerradas de Newton-Cotes usan los límites de integración para fijar los puntos de la función y entre esos límites trazan los polinomios de grado n para hacer la aproximación. Por ejemplo, en el método de los trapecios, se toman los puntos x0, f (x0) y x1, f (x1) para trazar el trapecio. Si cambiamos los límites de integración a un lugar conveniente de tal manera que el área del trapecio sea más precisa lograremos un mejor resultado

Para encontrar los puntos x1 y x2 de tal manera que mejoren la integral se aplica la técnica de los coeficientes indeterminados.
Suponga que la regla de los trapecios se puede expresar como:

Donde w1, x1,w2, x2 están indeterminados, por lo que se requiere de 4 ecuaciones para
obtener los valores.

Gauss-Legendre


Como indicamos anteriormente, la cuadratura de Gauss-Legendre busca encontrar los valores de w1, x1,w2 y x2 para poder calcular la integral, por lo que se requiere de 4 ecuaciones y resolver el sistema. Las cuadro ecuaciones las obtenemos de las integrales que conocemos 1, x, x2 y x3, para simplificar los cálculos integraremos entre los límites -1 y 1. Posteriormente haremos la transformación necesaria para que los límites sean los valores genéricos a y b.

Para dos puntos los valores de los coeficientes son

de tal manera que la ecuación para calcular la integral con el método de cuadratura con dos puntos es la siguiente

Cuadraturas con más puntos

La cuadratura para n puntos se puede expresar como

I = w1 f(x1) + w2 f(x2) + w3 f(x3) + … + wn f(xn)

Haciendo las transformaciones de la misma manera que se hizo con la cuadratura de Gauss-Legendre de 2 puntos, ahora para n puntos tenemos

Donde n es el número de puntos iniciando con 2, wi son los pesos y zi son los factores que afectan a cada punto. A continuación se muestran los valores de wi y zi para los primeros 6 puntos.

function [r] = cuadraturaN(f,a,b,n)
   w=[1.,1.,0,0,0,0;
      0.55555556,0.88888889,0.55555556,0,0,0;
      0.3478548,0.6521452,0.6521452,0.3478548,0,0;
      0.2369269,0.4786287,0.5688889,0.4786287,0.2369269,0;
      0.1713245,0.3607616,0.4679139,0.4679139,0.3607616,0.1713245];
   z=[-0.577350269,0.577350269,0,0,0,0;
      -0.774596669,0,0.774596669,0,0,0;
      -0.861136312,-0.339981044,0.339981044,0.861136312,0,0;
      -0.906179846,-0.538469310,0,0.538469310,0.906179846,0;
      -0.932469514,-0.661209386,-0.238619186,0.238619186,0.661209386,0.932469514];
   s=0;
   for i=1:n
      s=s+w(n-1,i)*f((b-a)/2*z(n-1,i)+(a+b)/2);
   end
   r=(b-a)/2*s;
end
a=300+273.15; % limite inferior
b=600+273.15; % limite superior
n=3; % numero de puntos
f=@(x) 2.41+0.057195*x-4.3e-6*x.^2; %ecuacion a integrar
area = cuadraturaN(f,a,b,n)
integral(f,a,b) %uso de la funcion integral de Matlab

Ejercicio

En un intento por comprender el mecanismo del proceso de despolarización en una celda de combustible, un modelo electrocinético para la corriente mixta de oxígeno-metanol en platino se desarrolló en el laboratorio. Un modelo muy simplificado de la reacción desarrollada sugiere una relación funcional en forma integral. Para encontrar el tiempo requerido para que el 50% del oxígeno sea consumido, el tiempo T está dado por

Encontrar el tiempo requerido para que el 50% del oxígeno sea consumido.

  • Dado que se trata de una ecuación muy sencilla calcule la integral por medios analíticos.
  • Aplicar los diferentes métodos numéricos y obtenga los resultados.
  • Calcule el error relativo porcentual al compararlo con la solución analítica (exacta) y diga cuál fue el mejor resultado y por qué (además de que es porque tiene el menor error).

Comments (78)

  • Sebastián Acosta González de SalcedaMié Abr 29, 2020 at 7:06 PM

    Si se conoce la función que da el límite superior ¿Por que es necesario el método numérico? ¿En que casos se debe usar el método numérico en lugar de la integral analítica?

    • JcjimenezbMié Abr 29, 2020 at 8:31 PM

      Intenta integrar por medios analíticos e^x^2, verás que es imposible, es una de las funciones que no se pueden integrar. Los métodos numéricos resuleven el inconveniente de aquellas ecuaciones que no se pueden integrar o que su solución analítica es muy complicada. Los métodos numéricos requieren solamente que se evalúe la ecuación en diferentes puntos, se sustituye en la fórmula del método y se obtiene el resultado, no se requiere de ninguna técnica analítica como integración por fracciones parciales o por partes, etc.

  • ANGEL GIOVANNI VILLEGAS MOYAJue Abr 30, 2020 at 12:44 AM

    ¿Para saber cual es el método más apropiado de utilizar se recurriría a graficar primero o como saber que método utilizar desde un principio?

    • JcjimenezbJue Abr 30, 2020 at 2:29 AM

      La respuesta está en el comportamiento de la ecuación a integrar. Dado que las fórmulas de Newton-Cotes intentan aproximar la integral haciendo una la interpolación de grado 0, 1, 2 o 3 entre los límites, si la ecuación tiene un comportamiento lineal entonces se usa el método de los trapecios, si la ecuación tiene un comportamiento cuadrático entonces se debe usar el método de simpson 1/3, si el comportamiento de de la ecuación es cúbico entonces el método a utilizar es Simpson 3/8. De cualquier manera las versiones compuestas de cada método calculará un mejor resultado que la versión simple. La otra alternativa es usar la cuadratura de 2, 3, 4, 5 o 6 puntos que calcula un resultado todavía mejor que una fórmula de Newton-Cotes.

  • Marian Navarro CázaresJue Abr 30, 2020 at 1:10 AM

    ¿Cómo saber que método es la mejor opción para resolver un problema dado?

    • JcjimenezbVie May 01, 2020 at 3:21 AM

      La respuesta está en el comportamiento de la ecuación a integrar. Dado que las fórmulas de Newton-Cotes intentan aproximar la integral haciendo una la interpolación de grado 0, 1, 2 o 3 entre los límites, si la ecuación tiene un comportamiento lineal entonces se usa el método de los trapecios, si la ecuación tiene un comportamiento cuadrático entonces se debe usar el método de simpson 1/3, si el comportamiento de de la ecuación es cúbico entonces el método a utilizar es Simpson 3/8. De cualquier manera las versiones compuestas de cada método calculará un mejor resultado que la versión simple. La otra alternativa es usar la cuadratura de 2, 3, 4, 5 o 6 puntos que calcula un resultado todavía mejor que una fórmula de Newton-Cotes.

    • Fausto Barón CastañedaVie May 01, 2020 at 10:26 PM

      Profesor, a mi no me queda claro por qué el método de Simpson 3/8 realiza el producto (h*3/8). En en método de 1/3 me queda claro. Pero en este no. Saludos

      • JcjimenezbJue May 07, 2020 at 3:36 AM

        El factor 1/3 o 3/8 es resultado de integrar el polinomio de segundo o tercer grado respectivamente, no tiene otra explicación, simplemente resulta de evaluar la integral.

  • Armando OntiverosJue Abr 30, 2020 at 10:37 PM

    Profesor y en caso de que las integrales definidas fueran dobles o triples, ¿se realiza con los mismos métodos integral a integral, o hay otro métodos más sencillos?

    • JcjimenezbVie May 01, 2020 at 3:14 AM

      Excelente pregunta. Se pueden aplicar los mismos métodos, supongamos la siguiente integral triple

      Int(xyz)dxdydz y digamos que los límites de integración son de 0 a 1 en las tres integrales.

      Como es una ecuación lineal en cada una de las variables se puede aplicar el método de los trapecios. Primero integras con respecto a x entre los límites de 0 a 1, (1-0)(0+1)/2 el resultado es 0.5yz, ves que la expresión se reduce a dos variables porque se integró con respecto a x. Luego integras con respecto a y entre los límites 0 y 1, (1-0)(0+1)/2 el resultado es 0.5(0.5)z. Por último integras con respecto a z entre los límites 0 y 1, (1-0)(0+1)/2 el resultado es 0.5(0.5)(0.5). Sencillo no?

  • ALDO RAYAS REYESVie May 01, 2020 at 3:00 AM

    En las cuadraturas ¿los términos wi tienen algún significado geométrico?

    En las fórmulas de Newton-Cotes ¿se podría decir que el término h indica el número de rectángulos o trapecios que usamos para dividir el área bajo la curva?

    • JcjimenezbVie May 01, 2020 at 3:28 AM

      Los términos wi son los pesos que se asocian para obtener el resultado y no tienen un significado geométrico, más bien tienen solo un significado aritmético. Por ejemplo, revisemos la fórmula de los trapecios.

      I=(b-a)(f(a)+f(b))/2

      también se puede escribir como

      I=(b-a)/2f(a) + (b-a)/2f(b)

      Aritméticamente es la misma ecuación pero expresada de otra manera, pero esta nueva manera es la que se usa para la cuadratura, donde w1=(b-a)/2 y w2=(b-a)/2. Sabemos que a y b representan los límites de integración, pero qué significa (b-a)/2, pues es solo un coeficiente de cada término que se puede decir que es un peso asociado a cada término.

      Por otro lado h es el ancho de cada trapecio o rectángulo, el número de trapecios es n. Si decimos por ejemplo que dividas los límites de integración de 0 a 1 en 5 intervalos entonces estamos diciendo que:

      a=0 límite inferior
      b=1 límite superior
      n=5 número de trapecios
      h=(b-a)/n = (1-0)/5 = 0.2 es el ancho de cada trapecio o rectángulo

  • Eduardo Sebastian López ReyesVie May 01, 2020 at 3:20 AM

    Entiendo que el tipo de función que queramos integrar influye directamente en el método a emplear, pero, ¿hay algún método que pueda utilizar con resultados aceptables para cualquier integral no analítica?

    • JcjimenezbVie May 01, 2020 at 11:20 PM

      Los métodos más utilizados a nivel profesional que dan buenos resultados son los de cuadratura con 2 puntos o más.

  • Fausto Barón CastañedaVie May 01, 2020 at 10:28 PM

    Profesor, a mi no me queda claro por qué el método de Simpson 3/8 realiza el producto (h*3/8). En en método de 1/3 me queda claro. Pero en este no. Saludos

    • JcjimenezbSáb May 02, 2020 at 6:00 PM

      El factor 1/3 para la regla de Sipson 1/3 y el factor 3/8 para la regla de Sipson 3/8 es el resultado de integrar el polinomio de interpolación de 2do o 3er grado respectivamente en los límites de integración a y b. Es simeplemente resultado haber integrado y evaluado entre los límites, no tiene ninguna otra interpretación aritmética.

  • AndreaSáb May 02, 2020 at 3:35 AM

    Buen día profesor , entonces en el caso de las fórmulas de Newton-Cotes ¿ ya no es posible haciendo una interpolación de 4 grado?

    • JcjimenezbSáb May 02, 2020 at 6:05 PM

      La fórmulas de Newton-Cotes se pueden seguir desarrollando para interpolaciones de grados más altos, en el libro que les compartí hay una tabla con más reglas de un grado mayor de interpolación.
      Se debe tener cuidado al usar una fórmula de grado mayor porque puede afectar en el comportamiento del polinomio, recuerdas cuando revisamos los métodos de interpolación polinómica donde al aumentar el grado del polinomio aumentan las oscilaciones entre los puntos tabulados, lo mismo pasa aquí y entonces se tienen oscilaciones entre los puntos y por lo tanto la integral de esos polinomios pues va a diferir de la integral de la ecuación que se desea integrar. Por eso las fórmulas de Newton-Cotes no son muy recomendables, en su lugar se usan las cuadraturas

  • ITZAYANA DE JESUS DIAZ GASPARSáb May 02, 2020 at 4:38 AM

    Profesor veo que en algunos metodos no viene como graficarse
    pero ¿en todos es posible hacerlo?

    • JcjimenezbSáb May 02, 2020 at 6:10 PM

      Si se pueden graficar los demás métodos, para hacerlo se debe evaluar la interpolación en todos los puntos intermedios entre cada intervalo para conseguir el contorno que tiene el polinomio.

  • Flor Colmenares CervantesDom May 03, 2020 at 4:00 AM

    Aparte de los dos ejemplos expuestos ¿cuáles serían otras situaciones o problemas en los que se empleen frecuentemente estos métodos en la industria?

    • JcjimenezbLun May 04, 2020 at 9:46 PM

      Las integrales son una herramienta de cálculo muy poderosa y muy usada en la ingeniería. Dónde se usa? pues en cada cálculo que requiera hacer la suma de una cantidad que cambia de acuerdo a una función no lineal, por ejemplo concentración para calcular la cantidad total de un producto, cambio de la presión en el cáclulo del trabajo requerido en un proceso, en el cambio de la temperatura para el calculo de calor total en una reacción. En fin, en cada caso donde se requiera hacer la suma de cantidades que cambian en un intervalo,

      • Alejandro Sánchez RuizMié May 06, 2020 at 10:29 PM

        ¿Qué pasaría si tenemos una integral doble o triple?
        ¿Se aplicaría el método resolviendo primero una integral y después otra?
        ¿Existen métodos que contemplen la resolución de estas integrales sin tener que hacerlo por pasos (en el caso de que así se resuelvan)?

        • JcjimenezbJue May 07, 2020 at 3:33 AM

          Las integrales múltiples se resuelven por una variable a la vez. Primero las integrales internas, luego las más externas. No hay métodos que resuelvan para todas las variables en un solo paso.

  • BRAYAN YAIR GARCIA DURANDom May 03, 2020 at 11:13 PM

    int e^x^2 definida en [0,1]
    la regla de los rectangulos=1
    regla de los compuestos de los rectangulos= 1.3088
    regla de los trapecios= 1.8591
    regla de loa trapecios compuestos=1.4807
    los valores son muy cercanos, considero que el margen de error es casi mínimo, se podría decir que cualquier método es el correcto, ¿cuál será el parámetro que nosotros vamos a utilizar como criterio para decidir que valor es el correcto ? podría brindar un ejemplo, excelente día.

    • JcjimenezbLun May 04, 2020 at 9:51 PM

      Muy bien, vas por buen camino. Lo que se busca es tener un resultado lo más aproximado al analítico, estas observando que los resultados tienden a un valor en particular, si graficas el número de rectángulo o trapecios o simpson 1/3 o simpson 3/8 o las cuadraturas contra el valor de la integral te vas a dar cuenta que siempre tienden a un valor, ese valor es la integral que estas buscando, si sigues aumentado más y más los intervalos te darás cuenta que el resultado ya no varía tanto, entonces te debes sentar y tomar un cerveza porque has llegado a la integral.

  • Emilio Ramos BoldeDom May 03, 2020 at 11:26 PM

    ¿Es posible conocer el área bajo la curva solo viendo el gráfico, es decir sin conocer la la función que describe la curva? o ¿A partir de la gráfica se puede conocer la función que describe la serie de puntos que están gratinados, y así poder calcular por métodos numéricos el área bajo la curva?

    • JcjimenezbLun May 04, 2020 at 9:53 PM

      Eso ayuda para obtener los primeros resultados, si tomas un método cualquiera, digamos simpson 1/3 y vas aumentando cada vez el número de subintervalos en los límites de integración vas a darte cuenta que el valor de la integral ya no cambia mucho, ese es el valor que debes usar como resultado.

  • Emilio RamosDom May 03, 2020 at 11:27 PM

    ¿Es posible conocer el área bajo la curva solo viendo el gráfico, es decir sin conocer la la función que describe la curva? o ¿A partir de la gráfica se puede conocer la función que describe la serie de puntos que están gratinados, y así poder calcular por métodos numéricos el área bajo la curva?

    • JcjimenezbLun May 04, 2020 at 10:37 PM

      Los métodos aquí descritos requieren que los puntos sean equidistantes, eso quiere decir que debe existir la misma separación entre cada punto, la variable h que aparece en varios métodos mide esa separación. Si se cuenta con la ecuación a integrar entonces puedes evaluarla en los puntos que se te antoje, o en los que requiera el método, como la separación entre cada punto es el mismo entonces es posible factorizar h de cada término y ponerla al principio, revisa los distintos métodos y te darás cuenta de lo que te digo. Si solo tienes la gráfica y no la ecuación tendrás que crear una tabla con los valores observados de x y y, cuida que todos estén equiespaciados para que puedas usar las fórmulas vistas y las puedas usar. Pero si tienes un problema donde lo único que dan son valores en una tabla y además no están equidistantes entonces debes usar tu habilidad de ingeniero y pensar un poco, si graficas esos puntos discretos puedes crear polígonos regulares entre los puntos como rectángulos o trapecios, calculas el área de cada polígono los sumas y tienes la integral para puntos discretos.

  • María Paula Valenti RuizLun May 04, 2020 at 10:27 PM

    Profesor, ¿Cómo encuentro zi (los factores que afectan a cada punto)? y otra pregunta, ¿El número de subintervalos o rectángulos (en la regla de los rectángulos) es un valor que yo puedo definir (la variable n)?
    Es que como se sabe se hace que el número de subdivisiones tienda a infinito cuando se hace una integral o ¿eso es sólo de método de integración de Riemann?

    • JcjimenezbLun May 04, 2020 at 10:57 PM

      vamos por partes
      ¿Cómo encuentro zi (los factores que afectan a cada punto)?
      Tanto los valores de zi como wi son calculados resolviendo el sistema de ecuaciones no lineales que se generan a partir de integrales conocidas de polinomios de grados 0 hasta n, de cualquier manera les anexo un documento en classroom para que consulten hasta 11 puntos, pero más allá de eso no es necesario porque las integrales por cuadratura dan muy buenos resultados a partir de 3 o 4 puntos, no llegarás a tener un resultado muy diferente con más puntos.

      ¿El número de subintervalos o rectángulos (en la regla de los rectángulos) es un valor que yo puedo definir (la variable n)?
      El número de intervalos n es un valor supuesto para poder calcular la integral, se entiende que entre mayor sea el valor de n, el valor de la integral será mejor, pero si revisamos el resultado numéricamente verás que ya no cambia mucho para valores de n, depende también del intervalo de integración, porque si estás integrando de 0 a 1 y decides 1millón de subintervalos pues ahora vas a caer en errores de redondeo, pero si tu intervalo es de 0 a 1millón entonces n puede ser de 1millón, aunque es un ejemplo muy exagerado porque no hay muchos ejemplos donde se tengan esos límites de integración.

      Es que como se sabe se hace que el número de subdivisiones tienda a infinito cuando se hace una integral o ¿eso es sólo de método de integración de Riemann?
      Si el número de subintervalos tiende a infinito te lleva a la definición de la integral, pero aquí estamos ante un problema numérico por lo tanto infinito no es un número y no se puede manejar, pero como comenté anteriormente, si aumentas el valor de n te darás cuenta que llega un momento que el valor de la integral ya no cambia mucho y ya no es necesario seguir aumentando n.

  • Lesley Adriana Reyes VillalbaMar May 05, 2020 at 12:10 AM

    ¿Se podría decir que los métodos numéricos para resolver integrales son mas eficientes que los métodos analíticos?

    • JcjimenezbJue May 07, 2020 at 3:30 AM

      De hecho los mètodos numéricos son menos eficientes porque no llegan a la solución exacta, pero si son más efectivos porque logran calcular integrales que los métodos analíticos no pueden.

  • Naomi CoronaMar May 05, 2020 at 12:34 AM

    Buena tarde, profesor
    Yo no entiendo como sale el número de subinterválos para el método de Simpson 3/8 , entiendo que debe ser par de 3 pero, ¿hay un límite?, ¿o cómo podríamos definirlo? En el ejemplo utiliza 6, ¿por qué?

    • JcjimenezbMar May 05, 2020 at 2:11 AM

      El método de Simpson 3/8 requiere de hacer una interpolación de 3er grado y por lo tanto requiere de 3 subintervalos. Si decides dividir el intervalo de intergración en 6 entonces puedes aplicar el método para los primeros 3 subintervalos y calcular la integral, luego calculas la integral de los siguientes 3 subintervalos y sumas ambos resultados para obtener la integral total. Ahora imagina que en lugar de 6 subintervalos lo divides en 8, puedes aplicar el método para esos 8 subintervalos si cada uno ocupa 3 subintervalos?, la respuesta es no se puede porque para 6 subintervalos aplicas 2 veces el método, 3 y 3, pero si ahora son 8 subintervalos, entonces serían 3 y 3 y 2, pero cómo puedes aplicar el método a 2 subintervalos si requiere de 3. Imagina ahora que divides en 9 subintervalos, así es posible aplicar 3 veces el método para cada 3 subintervalos. En conclusión solo puedes aplicar el método en múltiplos de 3, porque cada 3 aplicas el método y sumas los resultados para obtener el total. Hay un límite de subintervalos? pues no, porque tu puedes dividir el intervalo en 3millones de subintervalos y aplicarás el método 1millón de veces, pero piensa que el valor de h se vuelve muy pequeño numéricamente hablando porque h=(b-a)/n y n=3millones. Además como he comentado con tus demás compañeros, no vas a obtener un valor muy diferente a partir de un cierto número de subintervalos, el aumentar el valor de n no te genera un resultado mejor a partir de un cierto valor.

  • Flores Zavala Andrea KatiaMar May 05, 2020 at 6:16 AM

    Yo tengo la duda de que menciona que se utilizan métodos numéricos para resolver las ecuaciones que son complicadas de resolver por métodos analíticos, pero quisiera saber que si tenemos una ecuación que se puede resolver por métodos analíticos es posible también resolverlo por métodos numéricos, y si es posible sería mejor o simplemente si se puede resolver por métodos analíticos, lo resolvemos por métodos analíticos …

    • JcjimenezbMar May 05, 2020 at 2:15 PM

      Si la ecuación a integrar es un polinomio que es muy fácil obtener su integral de forma analítica pues no te compliques, pero si tienes una ecuación muy complicada para aplicar un método analítico, no te compliques y usa un método numérico.

      El ingeniero químico siempre usará la forma más eficaz y eficiente para resolver los problemas.

  • Montaño AndreaMar May 05, 2020 at 4:41 PM

    Profesor, mi duda es ¿En qué método se presenta menor error en los resultados al aplicarse en el mismo problema? o ¿Como identificar cuál sería el mas adecuado de acuerdo al problema que estemos resolviendo?

    • JcjimenezbMar May 05, 2020 at 7:41 PM

      El ingeniero experimenta, observa, razona y concluye. Cómo saber qué método? no hay una receta universal:
      * Toma en cuenta que el resultado se mejora con las versiones compuestas en lugar de las versiones simples de cada método.
      * Las cuadraturas tienen un mejor resultado que las fórmulas de Newton-Cotes.
      * El número de subintervalos tiene un valor límite donde aunque se siga aumentando ya no mejora más la integral.
      El ingeniero usa criterios, no aplica recetas.

  • BRAYAN YAIR GARCIA DURANMié May 06, 2020 at 1:45 AM

    profe en el ejercicio que dice: la cantidad de una transportadora sobre una tubería.. nos da una ecuación, usando simpson 1/3 h=8-2/2=3 y obtengo la ecuación i= 3/3[F(2)+4F(5)+F(8)] PERO NO ENTIENDO COMO PUEDO OBTENER EL VALOR. ¿tengo que sustituir el valor que se encuentra entre paréntesis para obtener el valor numérico? porque con el metedo compuesto obtengo la siguiente ecuación: I=1/3[f(2)+4f(3)+f(5)+f(7)+2f(4)+f(6)+f(8)] ¿qué tengo que hacer para obtener el valor numérico?
    (n=6 y h=1).

    • JcjimenezbMié May 06, 2020 at 3:36 AM

      Ya tienes la ecuación que requieres para calcular la integral, simplemente evalúas la función en el valor que se indica, sustituyes todo, evalúas y listo.
      Por ejemplo para
      i= 3/3[F(2)+4F(5)+F(8)]
      Debes evaluar la ecuación en f(2), f(5) y f(8), sustituyes los resultados y calculas la integral.
      Lo mismo para el caso de la versión compuesta.
      I=1/3[f(2) + 4 [f(3)+f(5)+f(7)] + 2 [f(4)+f(6)] + f(8)]
      Haz los cálculos en tu calculadora, luego los comparas con el programa y deben ser iguales.

  • BRAYAN YAIR GARCIA DURANMié May 06, 2020 at 6:12 PM

    hola, buenas tardes profesor, acabo de obtener algunos valores en relación al ejercicio que nos dejó. los resultados; integración analíticamente= -1.895×10^5
    regla de los rectángulos= -1.859192×10^5
    regla de los rectangulos compuestos. =-1.506284×10^5
    cuadratura con dos putnos= -1894615×10^5
    considero que el valor correcto es de la regla de los rectángulos porque se acerca más al valor obtenido analíticamente, ¿puedo usar esa justificación?
    también lo he intentado hacer con la cuadratura de gauss pero no entiendo como obtener Wi y Zi ¿podría explicarme como obtengo esos valores para poder resolver el problema?
    también con relación al ejercicio que dice: la cantidad de una transportadora sobre una tubería.. nos da una ecuación. la ecuación es compleja, pero no entindo como obtener Wi y Zi.

    • JcjimenezbMié May 06, 2020 at 6:57 PM

      Bien hecho, solo cambia el signo de la integral porque la ecuación es negativa. Puedes ahora observar que llegas a un resultado numérico muy cercano al analítico, pero la prengunta es: qué propiedad tiene el método para llegar a ese resultado? es porque usas muchos intervlos?, es porque la interpolación que usa entre los puntos se asemeja al comportamiento de la ecucación?, es por casualidad?
      Para usar más puntos en la cuadratura solo tienes que indicar el último parámetro en la función que indica el número de puntos, n puede ser de 2 hasta 6

      n=6;area = cuadraturaN(f,a,b,n)

      El programa usará los wi y zi que corresponden. Si quieres usar valores mayores a 6 debes modificar el programa para agregar los valores que vienen en el documento que les envié.

  • Raúl Becerra RodríguezMié May 06, 2020 at 11:23 PM

    ¿En los métodos explicados, podría existir la posibilidad de un cambio de coordenadas para la resolución de la integral?

    • JcjimenezbJue May 07, 2020 at 1:40 AM

      Se debe hacer el cambio a coordenadas rectangulares y ahí aplicar los métodos.

  • Emiliano Morales GarcíaJue May 07, 2020 at 4:38 AM

    Profesor, en una dada situación en la industria, supongamos que se tiene una función que modela la producción de cierto material por decir algo, si se aplicase uno de estos métodos descritos anteriormente, realmente vendría en perjuicio ya que existe un error asociado (debido a que no se abarca toda el área sombreada) y esto puede tener un coste económico, existe alguna manera de poder estimar el error?

    • jcjimenezbSáb May 09, 2020 at 12:35 PM

      Los métodos numéricos tienen un error asociado como lo vimos en el inicio del semestre, no solo por trabajar con números sino que también porque se utilizan métodos de aproximación. Cuando se tiene un riesgo económico se hacen varias validaciones para reportar una solución como aplicar distintos métodos y comparar sus resultados para observar su convergencia entre ellos. En la producción no solo se basa en el resultado del diseño y se aplica, hay otras técnicas de control de calidad para medir y asegurar la pureza que se requiere del producto. A veces el alumno ve las soluciones aisladas y piensa que los problemas de ingeniería se resuelven con un único método y ya. En la práctica esto es más complicado y se requieren reuniones con otros ingenieros de otras disciplinas para llegar a definir o mejorar un proceso y eso es mucho más que aplicar un método numérico.

  • Alejandro Sánchez LugoVie May 08, 2020 at 5:49 AM

    Hola, profesor.
    Entiendo que el método de integrales analíticas no es válido para la integrales que se resuelven conforme a estos métodos, pero si menciona que son menos exactos eso como se podría determinar? Existe algún método todavía mejor que los pospuesto aquí? Además supongamos un problema que se pueda responder por dos métodos cual sería el más eficiente y como es que lo defino?
    Espero se encuentre bien saludos

    • JcjimenezbDom May 10, 2020 at 11:25 PM

      Los métodos analíticos si son válidos para resolver un problema de integrales, siempre será mejor aplicar un método analítico, los métodos numéricos también se pueden aplicar a esos mismos problemas. Pero si tienes dos formas de resolver un mismo problema y uno te da un resultado aproximado (método numérico) y el otro te da un resultado preciso (método analitico) cuál prefires usar?.
      Claro, aplicas el método analítico. Puedes aplicar también el método numérico y calcular el error entre uno y otro para verificar qué tan bueno es el método numérico.
      Ahora piensa en una ecuación donde no se puede resolver por medios analíticos, qué haces? no lo resuelves? buscas la manera de obtener el resultado por otros medios, ese otro medio son los métodos numéricos, los cuales se pueden aplicar para TODAS las ecuaciones y obtienes un resultado. Como no tienes manera de saber qué tan preciso es porque no tienes contra qué compararlo entonces calculas la misma integral con más intervalos y vas observando el resultado de la integral, te vas dando cuenta que llega un momento donde el valor no cambia, ese es el valor correcto de la integral.
      Te das cuenta que no mencioné que aplicaras el método tal o cual, sino que lo apliques con más y más intervalos y te darás cuenta que te lleva a un mismo resultado, cualquier método.

  • Alejandro Sánchez LugoVie May 08, 2020 at 4:07 PM

    Hola, profesor.
    Entiendo que el método de integrales analíticas no es válido para la integrales que se resuelven conforme a estos métodos, pero si menciona que son menos exactos eso como se podría determinar? Existe algún método todavía mejor que los pospuesto aquí? Además supongamos un problema que se pueda responder por dos métodos cual sería el más eficiente y como es que lo defino?
    Espero se encuentre bien saludos

    • JcjimenezbSáb May 09, 2020 at 12:43 PM

      Los métodos numéricos tienen un error asociado al trabajar con numéricos y técnicas de aproximación. Como se pudo observar, el resultado de la integral mejora con las versiones compuestas, si al aumentar el número de subintervalos ya no cambia el valor de la integral entonces estás verificando que converge a un mismo valor, puedes comprobarlo todavía más si usas otro método y también aumentas los subintervalos, si también observas que converge a un valor y además es el mismo que el método anterior entonces puedes tomar ese valor como el correcto.

  • Eduardo Figueroa LópezSáb May 09, 2020 at 2:24 AM

    Profe, ¿en qué caso nos conviene más usar el simpson 1/3 o simpson 3/8?

    • Eduardo Figueroa LópezSáb May 09, 2020 at 3:59 AM

      otra duda, ¿qué n es conveniente usar para ambos metodos simpson y la cuadraturaN?

    • JcjimenezbSáb May 09, 2020 at 12:48 PM

      En los métodos numéricos no hay una recomendación única para cualquier problema, siempre dependerá del tipo de problema. Cada método tiene sus características y de acuerdo a las características del problema es el método que se debe aplicar.
      En un problema se pueden aplicar distintos métodos y se van mejorando con las versiones compuestas, verás que convergen a un mismo valor, ese es el valor correcto de la integral.

    • Luis Enrique Dominguez UrquizaLun May 11, 2020 at 4:31 PM

      Profesor yo tengo una duda ,para la cantidad de subintervalos o n para cada método está ya está establecida o se le puede dar cualquier valor ??

      • JcjimenezbLun May 11, 2020 at 7:42 PM

        El valor de n se supone, no hay manera de calcularlo porque es el número de subintervalos que «deseas» usar para el cálculo. Si usas un valor grande el resultado se mejorará, si sigues usando valores más altos verás que la integral no cambia y te darás cuenta que ya no vale la pena seguir aumentado los subintervalos.

  • Emma PérezDom May 10, 2020 at 6:54 AM

    Profesor, por lo que entiendo el método de cuadraturas está directamente relacionado con el método de los trapecios, ¿eso es debido a que es la figura geométrica que mejor puede describir un área bajo la curva? O bien ¿dependiendo de la función pudiera describirse mejor mediante el método por ejemplo de los rectángulos y para obtener un resultado más exacto realizar una cuadratura con base en esto?

    • JcjimenezbDom May 10, 2020 at 12:38 PM

      En realidad está relacionado con el método de los coeficientes indeterminados, la fórmula del método de los trapecios se presta para representar el método y también su representación geométrica se presenta para entender lo que sucede al encontrar los coeficientes zi y wi.

  • JcjimenezbDom May 10, 2020 at 12:39 PM

    En realidad está relacionado con el método de los coeficientes indeterminados, la fórmula del método de los trapecios se presta para representar el método y también su representación geométrica se presenta para entender lo que sucede al encontrar los coeficientes zi y wi.

  • Oscar Eduardo Grande CarroDom May 10, 2020 at 11:03 PM

    Tengo una duda respecto a la aplicación de los métodos. ¿Cuándo es conveniente combinar dos métodos para que la aproximación sea mejor? Es decir, que se utilice, por ejemplo, la regla de Simpson 1/3 y también la regla de Simpson 3/8.

  • Abril López LópezLun May 11, 2020 at 5:11 AM

    ¿Puedo suponer un valor adecuado de n a prueba y error y comparándolo con el valor que obtenga de la integral analítica?
    ¿Cómo podría suponerlo de no contar con esta referencia?

    • JcjimenezbLun May 11, 2020 at 7:44 PM

      Supones un valor de n y obtienes la integral, luego aumentas el valor de n y obtienes la integral, te vas a dar cuenta que a partir de un cierto valor de n la integral ya no cambia mucho, ese es el valor de la integral y de n que estás buscando.

  • Sebastián González FloresLun May 11, 2020 at 11:13 PM

    Profesor, entonces por lo que entiendo los métodos numéricos solo nos ayudan a aproximar el resultado de una integral que es imposible resolver por métodos analíticos pero nunca nos darán un resultado exacto como los métodos analíticos, además de que para usar un método numérico es necesario conocer el comportamiento de la función para elegir el método que nos dará una mayor aproximación.

    • JcjimenezbLun May 11, 2020 at 11:41 PM

      Si, los métodos numéricos se aplican para cualquier tipo de ecuación, aún en aquellas donde los métodos analíticos no pueden. Los métodos numéricos si pueden obtener el resultado tan bueno como el método analítico, solo que se deben hacer varios calculos observando el valor al que se va acercando cada vez y ese es el valor de la integral.

  • Jennifer Mendoza CañasMar May 12, 2020 at 1:28 AM

    Buenas noches lamento la tardanza ¿Existen más métodos relacionados con otras geometrias? Que no sea el del trapecio

    • JcjimenezbMar May 12, 2020 at 2:18 AM

      Hablando de las fórmulas de Newton-Cotes se pueden desarrollar polinomios de grado mayor, los trapecios son el caso de polinomio de grado 1, pero como se muestra pueden adpatarse polionios de grado 2, 3, y demás como se muestra en el documento que les envié.

  • Paola Mojica VegaMar May 12, 2020 at 4:54 AM

    Profesor y que pasa cuando uno de nuestros límites tiende a infinito?
    Y estos métodos son los que se utilizan en los programas o existen algunos más exactos?

  • Débora BarragánMar May 12, 2020 at 5:38 AM

    Profesor, ¿qué pasa cuando uno de nuestros límites es un número irracional?

    • JcjimenezbMar May 12, 2020 at 3:20 PM

      Lo ideal es usar el valor de manera simbólica y al final hacer el cálculo numérico, es decir si uno de los límites es pi entonces usar ese símbolo para hacer los cálculos de la integral, al final se sustituye por su valor numérico y se obtiene el resultado. Eso evitará proopagar los errores de redondeo en cada cálculo.

  • Sharon GarcíaMar May 12, 2020 at 8:36 PM

    Profesor, es posible usar estos métodos para funciones trigonométricas?

    • JcjimenezbMar May 12, 2020 at 11:23 PM

      Las funciones pueden ser de cualquier tipo, trigonométricas, exponenciales, polinomiales, logarítmicas.

  • Juan Pablo Martínez GamaMié May 13, 2020 at 1:23 AM

    Hola profesor, ¿existe una manera análoga en los métodos numéricos utilizados para calcular integrales definidas en planos de coordenadas polares?

  • Andrea Aguilar AnayaMié May 13, 2020 at 3:23 AM

    Profesor, una duda, ésta es más de MATLAB, por qué al realizar la programación para un New Live Script no se puede hacer que se conecten dos folder así como usted lo escribió para New Script, o sea, que diferencia tiene .m que .mlx? Gracias.

  • Andrea Aguilar AnayaMié May 13, 2020 at 3:55 AM

    Otra duda, profesor. Qué ocurre con las integrales indefinidas? Los métodos numéricos ya no aplicarían, o si aplican pero otros? Saludos.

    • JcjimenezbMié May 13, 2020 at 2:59 PM

      Las integrales indefinidas no tienen una solución numérica porque carecen de límites para integrar.

  • Juan José Ramírez CabanillasDom May 24, 2020 at 2:29 AM

    ¿Es posible aplicar estos métodos a expresiones que contengan funciones trigonométricas elevadas a potencias fraccionarias?

    • JcjimenezbMar May 26, 2020 at 10:58 PM

      Se puede aplicar a cualquier tipo de función, no hay restricción que diga que alguna función no se puede usar.