Los sistemas de ecuaciones lineales en la ingeniería
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Las ecuaciones lineales tiene tres componentes principales
ax=b
a es el coeficiente
x es la incógnita
b es una constante
El coeficiente a, es un valor numérico que multiplica a una variable o incógnita x. Pensemos en el flujo de una sustancia, la sustancia tiene una concentración dada la cual puede ser conocida o no, si la concentración es conocida entonces la cantidad de masa es evaluable y se tiene un valor numérico que conocemos como constante b, si la concentración no es conocida entonces se tiene una ecuación con una incógnita ax.
Pensemos ahora que ese flujo (50l/min) tiene una concentración conocida (0.08kg/l) y entra a un tanque A donde se mezcla con otra entrada CB y genera una nueva concentración de salida CA. El balance de masa para el tanque A es (Entradas=Salidas)
50(0.08)+50Cb=100Ca re arreglando 100Ca-50Cb=4
El balance genera una ecuación lineal que expresa cómo se relaciona:
- El flujo de entrada y suconcentración, 50(0.08)
- El flujo que sale del tanque B, 50Cb
- El flujo y la concentración que sale del tanque A, 100Ca
Expresando la ecuación en su forma estándar tenemos 100Ca-50Cb=4 donde se identifican los componentes de una ecuación lineal (coeficientes: 100, -50, incógnitas: Ca, Cb y constante: 4).
El balance de los tanques B y C queda como sigue:
- Tanque B
- 80(0.05)+20Cc=100Cb 100Cb-20Cc=4
- Tanque C
- 100Ca+50Cb=150Cc 100Ca+50Cb-150Cc=0
El sistema de ecuaciones lineales que expresa el problema es
100Ca-50Cb=4
100Cb-20Cc=4
100Ca+50Cb-150Cc=0
Observamos que la primer ecuación expresa el comportamiento del tanque A, y nos dice cómo se relaciona con el flujo de entrada y el tanque B.
La segunda ecuación expresa el comportamiento del tanque B y nos dice cómo se relaciona con su flujo de entrada y con el tanque C.
La tercer ecuación expresa el comportamiento del tanque C que nos dice cómo se relaciona con el tanque A y B.
El vector b, el vector de las constantes expresa los flujos externos que entran al sistema, ya que los demás flujos se generan a partir de los propios tanques. Esto quiere decir que si al mismo arreglo de tanque se cambian las concentraciones de entrada, el sistema no se altera, lo que cambia es unicamente el vector b, el vector de las entradas.
100Ca-50Cb=2.5
100Cb-20Cc=2.4
100Ca+50Cb-150Cc=0
El sistema cambia solo en el vector b y por lo tanto cambiará el vector solución x. Observamos que la matriz de coeficientes se conserva porque el comportamiento del sistema no cambia, no se ha cambiado la forma de obtener el balance de masa por cambiar las concentraciones de los flujos de entrada.
Entonces queda claro que la matriz de coeficientes A expresa el comportamiento del sistema, el vector b expresa las entradas al sistema y el vector de las incógnitas x expresa la respuesta que tiene el sistema ante las entradas.
La solución del primer sistema se obtiene con las siguientes sentencias en Matlab/Octave/Scilab
100Ca-50Cb=4
100Cb-20Cc=4
100Ca+50Cb-150Cc=0
A=[100 -50 0;0 100 -20;100 50 -150];
b=[4 4 0]';
x=A\b
x =
0.066154
0.052308
0.061538El conjunto soluciòn indica las concentraciones en cada tanque
- Tanque A 0.066154
- Tanque B 0.052308
- Tanque C 0.061538
Si ambos sistemas tienen la misma matriz de coeficientes, aunque los vectores de entrada sean distintos, el sistema de ambos escenarios se plantea como
A=[100 -50 0;0 100 -20;100 50 -150]
A =
100 -50 0
0 100 -20
100 50 -150
>> B=[4 2.5;4 2.4; 0 0]
B =
4.00000 2.50000
4.00000 2.40000
0.00000 0.00000Donde la matriz A contiene los coeficientes del sistema y la matriz B tiene ambos vectores de constantes, la solución de ambos sistemas se obtiene con
X=A\B
X =
0.066154 0.040769
0.052308 0.031538
0.061538 0.037692Donde la primer columna de X es el vector solución del primer sistema y la segunda columna es la solución del segundo sistema.
- Tanque A 0.040769
- Tanque B 0.031538
- Tanque C 0.037692
